数学必修总结（十六篇）

【第1篇 高一数学必修一知识点总结

高一数学必修一知识点总结范例

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性,

(2) 元素的互异性,

(3) 元素的无序性,

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集) 记作：n

正整数集 n_或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r

1) 列举法：{a,b,c……}

2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{_?r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) venn图:

4、集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能(1)a是b的一部分，;(2)a与b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a b或b a

2.“相等”关系：a=b (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。a?a

②真子集:如果a?b,且a? b那就说集合a是集合b的真子集，记作a b(或b a)

③如果 a?b, b?c ,那么 a?c

④ 如果a?b 同时 b?a 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.记作a b(读作‘a交b’)，即a b={_|_ a，且_ b｝.

由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a,b的并集.记作：a b(读作‘a并b’)，即a b ={_|_ a，或_ b}).

设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集(或余集)

更多资料请点击》》http://class.hujiang.com/category/131181576619/p28_292

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数_，在集合b中都有唯一确定的数f(_)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作： y=f(_)，_∈a.其中，_叫做自变量，_的取值范围a叫做函数的定义域;与_的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(_)| _∈a }叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数式有意义的实数_的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的._的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(_) , (_∈a)中的_为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(_，y)的集合c，叫做函数 y=f(_),(_ ∈a)的图象.c上每一点的坐标(_，y)均满足函数关系y=f(_)，反过来，以满足y=f(_)的每一组有序实数对_、y为坐标的点(_，y)，均在c上 .

(2) 画法

a、 描点法：

b、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素_，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a b为从集合a到集合b的一个映射。记作f：a→b

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),则 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(_)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量_1，_2，当_1

如果对于区间d上的任意两个自变量的值_1，_2，当_1f(_2)，那么就说f(_)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(_)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(_)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(_)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(a) 定义法：

○1 任取_1，_2∈d，且_1

○2 作差f(_1)-f(_2);

○3 变形(通常是因式分解和配方);

○4 定号(即判断差f(_1)-f(_2)的正负);

○5 下结论(指出函数f(_)在给定的区间d上的单调性).

(b)图象法(从图象上看升降)

(c)复合函数的单调性

复合函数f[g(_)]的单调性与构成它的函数u=g(_)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地，对于函数f(_)的定义域内的任意一个_，都有f(-_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(_)的定义域内的任意一个_，都有f(-_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-_)与f(_)的关系;

○3作出相应结论：若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0，则f(_)是偶函数;若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0，则f(_)是奇函数.

(2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

○2 利用图象求函数的最大(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数y=f(_)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(_)在_=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(_)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(_)在_=b处有最小值f(b);

【第2篇 高二数学必修一知识点总结

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

11三视图：

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

22画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

33直观图：斜二测画法

44斜二测画法的步骤：

(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;

(2).平行于y轴的线长度变半，平行于_，z轴的线长度不变;

(3).画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的步骤：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积

(一)空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱的表面积3圆锥的表面积

4圆台的表面积

5球的表面积

(二)空间几何体的体积

1柱体的体积

2锥体的体积

3台体的体积

4球体的体积

高二数学必修二知识点：直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的

2平面的画法及表示

(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长(如图)

(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面ac、平面abcd等。

3三个公理：

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表示为

a∈l

b∈l=>lα

a∈α

b∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：a、b、c三点不共线=>有且只有一个平面α，

使a∈α、b∈α、c∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：p∈α∩β=>α∩β=l，且p∈l

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;

平行直线：同一平面内，没有公共点;

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与o的选择无关，为了简便，点o一般取在两直线中的一条上;

②两条异面直线所成的角θ∈(0，);

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b;

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

(1)直线在平面内——有无数个公共点

(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点

(3)直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

aα

bβ=>a∥α

a∥b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

aβ

bβ

a∩b=pβ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

(1)用定义;

(2)判定定理;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

aβa∥b

α∩β=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们公共点p叫做垂足。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-ab-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

【第3篇 高二数学必修五知识点总结归纳

（一）解三角形：

1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有

(为的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式：①，，；

②，，；③；

3、三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，推论：

（二）数列：

1.数列的有关概念：

（1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数n_或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数。

（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如:。

（3）递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。

如:。

2．数列的表示方法：

（1）列举法：如1，3，5，7，9，…（2）图象法：用（n,an）孤立点表示。

（3）解析法：用通项公式表示。（4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：

4．数列{an}及前n项和之间的关系:

5．等差数列与等比数列对比小结：

等差数列等比数列

一、定义

二、公式1．

2．

1．

2．

三、性质1．，

称为与的等差中项

2．若（、、、），则

3．，，成等差数列

1．，

称为与的等比中项

2．若（、、、），则

3．，，成等比数列

（三）不等式

1、；；．

2、不等式的性质：①；②；③；

④，；⑤；

⑥；⑦；

⑧．

小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。

在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。

3、一元二次不等式解法：

（1）化成标准式：；（2）求出对应的一元二次方程的根；

（3）画出对应的二次函数的图象；（4）根据不等号方向取出相应的解集。

线性规划问题：

1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、解

2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值问题．

3．解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证。

两类主要的目标函数的几何意义:

①-----直线的截距；②-----两点的距离或圆的半径；

4、均值定理：若，，则，即．；

称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．

5、均值定理的应用：设、都为正数，则有

⑴若（和为定值），则当时，积取得值．

⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．

注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

【第4篇 人教版高一数学必修二知识点总结

导语青春是一场远行，回不去了。青春是一场相逢，忘不掉了。但青春却留给我们最宝贵的友情。友情其实很简单，只要那么一声简短的问候、一句轻轻的谅解、一份淡淡的惦记，就足矣。当我们在毕业季痛哭流涕地说出再见之后，请不要让再见成了再也不见。这篇《人教版高一数学必修二知识点总结》是高一频道为你整理的，希望你喜欢！

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

(1)共面：平行、相交

(2)异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法

两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]

最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直

直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

多面体

1、棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形

2、棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

3、正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

两个平面的位置关系

(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

(2)两个平面的位置关系：

两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。b、相交

二面角

(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。

【第5篇 高二年级数学必修三第一章知识点总结

导语着眼于眼前，不要沉迷于玩乐，不要沉迷于学习进步没有别_的痛苦中，进步是一个由量变到质变的过程，只有足够的量变才会有质变，沉迷于痛苦不会改变什么。高二频道为你整理了《高二年级数学必修三第一章知识点总结》，希望对你有所帮助！

一.算法的概念

1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2.算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

(4)不性：求解某一个问题的解法不一定是的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

二.程序框图

1、程序框图基本概念：

一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。

二)构成程序框的图形符号及其作用

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

三)、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，a框和b框是依次执行的，只有在执行完a框指定的操作后，才能接着执行b框所指定的操作。

2、条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断

根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件p是否成立而选择执行a框或b框。无论p条件是否成立，只能执行a框或b框之一，

不可能同时执行a框和b框，也不可能a框、b框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

(1)、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件p成立时，执行a框，a框执行完毕后，再判断条件p是否成立，如果仍然成立，再执行a框，如此反复执行a框，直到某一次条件p不成立为止，此时不再执行a框，离开循环结构。

(2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件p是否成立，如果p仍然不成立，则继续执行a框，直到某一次给定的条件p成立为止，此时不再执行a框，离开循环结构。

注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。

2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

三.输入、输出语句和赋值语句

四.条件语句

五.循环语句

六.辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求公约数的步骤如下：

(1)：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数;

(2)：若=0，则n为m，n的公约数;若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数;

(3)：若=0，则为m，n的公约数;若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数;……依次计算直至=0，此时所得到的即为所求的公约数。

2、更相减损术

我国早期也有求公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译为：(1)：任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是，用2约简;若不是，执行第二步。

(2)：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的公约数。

3、辗转相除法与更相减损术的区别：

(1)都是求公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

七.秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：f(_)=an_n+an-1_n-1+….+a1_+a0求值问题

f(_)=an_n+an-1_n-1+….+a1_+a0=(an_n-1+an-1_n-2+….+a1)_+a0=((an_n-2+an-1_n-3+….+a2)_+a1)_+a0=......=(...(an_+an-1)_+an-2)_+...+a1)_+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=an_+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2=v1_+an-2v3=v2_+an-3......vn=vn-1_+a0

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序

1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单，可以举例说明)

2、冒泡排序

基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.八.进位制

概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。

【第6篇 2023高一数学必修一知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上的山

（2）元素的互异性如：由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}

（3）元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：_ kb 1.c om

非负整数集（即自然数集） 记作：n

正整数集 ：n_或 n+

整数集： z

有理数集： q

实数集： r

1）列举法：{a,b,c……}

2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{_r|_-3>2} ,{_|_-3>2}

3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）a是b的一部分，；（2）a与b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a b或b a

2．“相等”关系：a=b (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。aa

② 真子集:如果ab,且a b那就说集合a是集合b的真子集，记作a b(或b a)

③ 如果 ab, bc ,那么 ac

④ 如果ab 同时 ba 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集．记作a b（读作‘a交b’），即a b=｛_|_ a，且_ b｝．

由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a,b的并集．记作：a b（读作‘a并b’），即a b ={_|_ a，或_ b})．

设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集（或余集）

记作 ，即

csa=

韦

恩

图

示

性

质 a a=a

a φ=φ

a b=b a

a b a

a b b

a a=a

a φ=a

a b=b a

a b ａ

a b b

(cua) (cub)

= cu (a b)

(cua) (cub)

= cu(a b)

a (cua)=u

a (cua)= φ．

二、函数的有关概念

1．函数的概念

设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数_，在集合b中都有确定的数f(_)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数．记作： y=f(_)，_∈a．其中，_叫做自变量，_的取值范围a叫做函数的定义域；与_的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(_)| _∈a }叫做函数的值域．

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数_的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的_的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：

在平面直角坐标系中，以函数 y=f(_) , (_∈a)中的_为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(_，y)的集合c，叫做函数 y=f(_),(_ ∈a)的图象．c上每一点的坐标(_，y)均满足函数关系y=f(_)，反过来，以满足y=f(_)的每一组有序实数对_、y为坐标的点(_，y)，均在c上 .

(2) 画法

1.描点法： 2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素_，在集合b中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a b为从集合a到集合b的一个映射。记作“f（对应关系）：a（原象） b（象）”

对于映射f：a→b来说，则应满足：

(1)集合a中的每一个元素，在集合b中都有象，并且象是的；

(2)集合a中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),则 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(_)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量_1，_2，当_1

如果对于区间d上的任意两个自变量的值_1，_2，当_1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(_)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(_)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(a) 定义法：

（1）任取_1，_2∈d，且_1

（2）作差f(_1)－f(_2)；或者做商

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4）定号（即判断差f(_1)－f(_2)的正负）；

（5）下结论（指出函数f(_)在给定的区间d上的单调性）．

(b)图象法(从图象上看升降)

(c)复合函数的单调性

复合函数f[g(_)]的单调性与构成它的函数u=g(_)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数f(_)的定义域内的任意一个_，都有f(－_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f(_)的定义域内的任意一个_，都有f(－_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－_)与f(_)的关系；

○3作出相应结论：若f(－_) = f(_) 或 f(－_)－f(_) = 0，则f(_)是偶函数；若f(－_) =－f(_) 或 f(－_)＋f(_) = 0，则f(_)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)／f(-_)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

10、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

11．函数（小）值

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值

○2 利用图象求函数的（小）值

○3 利用函数单调性的判断函数的（小）值：

如果函数y=f(_)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(_)在_=b处有值f(b)；

如果函数y=f(_)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(_)在_=b处有最小值f(b)；

第三章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ _．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。

当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1） · ；

（2） ；

（3） ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中_是自变量，函数的定义域为r．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0<1

定义域 r 定义域 r

值域y＞0 值域y＞0

在r上单调递增 在r上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

（3）对于指数函数 ，总有 ；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数 ；

○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ n ＝ b

底数

指数 对数

（二）对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 · ＋ ；

○2 － ；

○3 ．

注意：换底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．

利用换底公式推导下面的结论：（1） ；（2） ．

（3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、 ， ③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

2、对数函数的性质：

a>1 0<1

定义域_＞0 定义域_＞0

值域为r 值域为r

在r上递增 在r上递减

函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；

（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

第四章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。

即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：

○1 （代数法）求方程 的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数 ．

（1）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

5.函数的模型

【第7篇 高三上册数学必修一知识点总结

导语高三学生很快就会面临继续学业或事业的选择。面对重要的人生选择，是否考虑清楚了？这对于没有社会经验的学生来说，无疑是个困难的想选择。如何度过这重要又紧张的一年，我们可以从提高学习效率来着手！高三频道为各位同学整理了《高三上册数学必修一知识点总结》，希望你努力学习，圆金色六月梦！

1.高三上册数学必修一知识点总结

两个平面平行的主要性质：

(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”;

(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”;

(3)两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”;

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面;

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等;

(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

2.高三上册数学必修一知识点总结

1.不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.

2.比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，

有a-b>0⇔;a-b=0⇔;a-b<0⇔.

另外，若b>0，则有>1⇔;=1⇔;<1⇔.

概括为：作差法，作商法，中间量法等.

3.不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔;

(2)传递性：a>b，b>c⇔;

(3)可加性：a>b⇔a+cb+c，a>b，c>d⇒a+cb+d;

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;a>b>0，c>d>0⇒;

(5)可乘方：a>b>0⇒(n∈n，n≥2);

(6)可开方：a>b>0⇒(n∈n，n≥2).

复习指导

1.“一个技巧”作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方.

2.“一种方法”待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围.

3.“两条常用性质”

(1)倒数性质：

①a>b，ab>0⇒<;

②a<0

③a>b>0,0;

④0

(2)若a>b>0，m>0，则

①真分数的性质：<;>(b-m>0);

②假分数的性质：>;<(b-m>0).

4.高三上册数学必修一知识点总结

1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限;

2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在;

3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线);

4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在.

下面我们重点讲一下数列极限的典型方法.

重要题型及点拨

1.求数列极限

求数列极限可以归纳为以下三种形式.

★抽象数列求极限

这类题一般以选择题的形式出现,因此可以通过举反例来排除.此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证.

★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法：

a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.

首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值.

b.利用函数极限求数列极限

如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解.

★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法：

a.利用特殊级数求和法

如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果.

b.利用幂级数求和法

若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值.

c.利用定积分定义求极限

若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示,则可以考虑用定积分定义求解数列极限.

d.利用夹逼定理求极限

若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解.

e.求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然后利用求解项和数列极限的方法进行计算.

5.高三上册数学必修一知识点总结

一、定义与定义式：

自变量_和因变量y有如下关系：

y=k_+b

则此时称y是_的一次函数。

特别地，当b=0时，y是_的正比例函数。

即：y=k_(k为常数，k≠0)

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的_的变化值成正比例，比值为k

即：y=k_+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

2.当_=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表;

(2)描点;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与_轴和y轴的交点)

2.性质：

(1)在一次函数上的任意一点p(_，y)，都满足等式：y=k_+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与_轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

6.高三上册数学必修一知识点总结

(1)直线的倾斜角

定义：_轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与_轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：

(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

(2)k与p1、p2的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

【第8篇 2023高一数学必修四公式总结

高一数学公式总结

复习指南

1． 注重基础和通性通法

在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。

2.注重思维的严谨性

平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。

我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。

另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！

希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” ：

1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观

3. 注重应用意识的培养

注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。

4.培养学习与反思的整合

建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！

所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！

5.注重平时的听课效率

听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题，心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。

想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来，抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。

在这里我再一次强调听课要做到“五得”

 听得懂  想得通  记得住  说得出  用得上2

6. 注重思想方法的学习

学习数学重在学习数学思想方法，它是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，也是历年来高考数学命题的特点之一。不少学者认为：

“传授知识”是数学的一种境界，加上“能力培养”是稍高的境界，再加上“方法渗透”是较高的境界，而再加上“提高修养（指数学文化和非智力引力的介入）”则是境界。作为学生一定要深刻理解数学的思想方法，它是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能体现数学的学科特点，才能形成数学素养。即使在以后我们走上社会，在工作岗位上我们的这种数学素养就会内化为自身的较深的修养，从而使得自己的气质得以升华，它对于我们今后的做人和处事有很大的指导意义，再加上我们的人文素养就可以造就自己哲学修养。

真心希望我的这些忠告能够对你今后的学习有所帮助，果真如此，也就聊以欣慰了！

基本三角函数

ⅰ

ⅱ  终边落在_轴上的角的集合：,z 终边落在y轴上的角的集合：,z,z终边落在与坐标轴上的角的集合：

 22

360度2 弧度

l r

11sl r r2

221180.弧度

180 1 弧度度180 弧度倒数关系：sincsc1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1

cossec1

tan21sec2

平方关系：sin2cos1 21cot2csc2

乘积关系：sintancos ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

ⅲ 诱导公式 终边相同的角的三角函数值相等

sin2ksin , kz cos2kcos , kz

tan2ktan , kz

角与角关于_轴对称sinsin

coscos

tantan

角与角关于y轴对称sinsin

coscos

tantan 角与角关于原点对称sinsin

tantancoscos

角

2与角关于y_对称sin

coscos2 cossin

cossin22

tancottancot22

上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

ⅳ 周期问题



2yacos_ , a0 ,   0 , tyasin_ , a0 ,   0 , tyacos_ , a0 ,   0 , t

yasin_ b , a0 ,   0 , b 0 , t2yasin_ , a0 ,   0 , t2

2yacos_ b , a0 ,   0 , b0 , ttyacot_ , a0 ,   0 ,



yatan_ , a0 ,   0 , t





yacot_ , a0 ,   0 , t



ⅴ 三角函数的性质

yatan_ , a0 ,   0 , t怎样由ysin_变化为yasin_k ？ 振幅变化：ysin_左右伸缩变化：

y 左右平移变化 _)

上下平移变化yasin(_)k

ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 a,a0,b,如果有



一个实数,使得,,则与与是共线向量 那么又且只有一个实数,使得.

ⅶ 线段的定比分点



.

op

当1时 当1时

ⅷ 向量的一个定理的类似推广

向量共线定理：  

推广

 平面向量基本定理： ae e , 其中e1,e21122



不共线的向量



推广

1e1 2e2 3e3,

空间向量基本定理：  其中e,e,e为该空间内的三个123

不共面的向量

ⅸ一般地，设向量_1,y1,_2,y2且,如果∥那么_1y2_2y10 反过来，如果_1y2_2y10,则∥.

ⅹ 一般地，对于两个非零向量a,b 有 ，其中θ为两向量的夹角。

cos



_1_2y1y2_1

2

y1

2

_2

2



y2

2

特别的， 

2

ⅺ

如果 _1,y1 , _2,y2 且 , 则_1_2y1y2特别的 , ab_1_2y1y20

ⅻ 若正n边形a1a2an的中心为o , 则oa1oa2oan

三角形中的三角问题

abc abc ,abc,-2

2

2

2

2

abc

sinabsinc cosabcosc sincos

22

abccossin

22

正弦定理：

abcabc

2r sinasinbsincsinasinbsinc

余弦定理：

a2b2c22bccosa , b2a2c22accosb cab2abcosc

2

2

2

b2c2a2a2c2b2cosa , cosb 

2bc2ac

变形： 222

abc

cosc 2ab

tanatanbtanctanatanbtanc

三角公式以及恒等变换

两角的和与差公式：sinsincoscossin , s()

sinsincoscossin , s()

coscoscossinsin , c()coscoscossinsin , c()tantan

, t()

1tantantantan

tan , t()

1tantantan

二倍角公式：

sin22sincos

cos22cos112sincossin

2tan

tan2

1tan2

2

2

2

2

tantantan1tantan

变形： tantantan1tantan

tantantantantantan

其中,,为三角形的三个内角

半角公式：

sin



2



1cos2

coscos

22

2



tan



2



1cossin1cos



1cos1cossin

降幂扩角公式：cos21cos2, sin21cos2

2

1

sinsin21

积化和差公式：cossinsinsin

21

coscoscoscos

21

sinsincoscos

2

sincos

sinsin2sincos

22

sinsin2cossin

和差化积公式：22



coscos2coscos

22

coscos2sinsin

22

2tan

sin

ss2sc

（ ss2cs）

cc2cccc2ss







1tan2

2

万能公式:

1tan2

cos

1tan2

2

( stc )

tan

2tan



1tan2

2

3

三倍角公式：sin33sin4sin

3tantan3

tan3

313tan2cos34cos3cos

“三四立，四立三，中间横个小扁担”



1. yasinbcos

b

aa

2. yacosbsina2b2sin 其中 , tan

bb

 a2b2cos 其中 , tanab

3. yasinbcosa2b2sin 其中 , tan

aa

a2b2cos 其中 , tanb

a2b2sin 其中 , tan

4. yacosbsin

a2b2sin

a

bb

a2b2cos 其中 , tana

注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以 a2b2sin 其中 , tan求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它的就可以直接写出.

一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.

tantan

, t()

♣ 补充： 1. 由公式 1tantan

tantan

tan , t()

1tantan

tan

第8 / 10页

可以推导 ： 当 在有些题目中应用广泛。

2. tantantantantantan 3. 柯西不等式(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dr.

补充

1．常见三角不等式：（1）若_(0,

(2) 若_(0,

2

2

2

2

2



4

时, z , 1tan1tan2



2

)，则sin__tan_.



2

22

2. sin()sin()sinsin(平方正弦公式);

)，则1sin_cos_|sin_||cos_|1.

cos()cos()cos2sin2.

asinbcos

)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,

b

tan ).

a

3. 三倍角公式 ：sin33sin4sin4sinsin(

3



)sin(). 33



cos34cos33cos4coscos()cos().333tantan3

tan3tantan()tan().

13tan233

4.三角形面积定理：（1）s



111

ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边222

上的高）.

111

absincbcsina

casinb.(3)222

soab5.三角形内角和定理在△abc中，有abcc(ab)

cab2c22(ab).

222

（2）s

6. 正弦型函数yasin(_)的对称轴为_

k







(kz)；对称中心

为(

k

,0)(kz)；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心； 

第9 / 10页

〈三〉易错点提示： 1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、

余弦函数的有界性了吗？ 2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（

这些统称为1的代换) 常数 “1”

的种种代换有着广泛的应用．

3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次） 4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(

【第9篇 数学必修一第一单元知识点总结

数学人教版必修一第一单元知识点总结

在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，小编准备了高一数学人教版必修一第一单元知识点，具体请看以下内容。

1.函数的基本概念

(1)函数的定义：设a、b是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数_，在集合b中都有唯一确定的数f(_)和它对应，那么称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作：y=f(_)，_∈a.

(2)函数的定义域、值域

在函数y=f(_)，_∈a中，_叫自变量，_的取值范围a叫做定义域，与_的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(_)|_∈a}叫值域.值域是集合b的子集.

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.

2.函数的三种表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法.

3.映射的概念

一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素_，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a→b为从集合a到集合b的一个映射.

注意：

一个方法

求复合函数y=f(t)，t=q(_)的定义域的方法：

①若y=f(t)的'定义域为(a，b)，则解不等式得a

两个防范

(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域.

(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性.

三个要素

函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等.函数是特殊的映射，映射f：a→b的三要素是两个集合a、b和对应关系f.

高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高一数学人教版必修一第一单元知识点，希望大家喜欢。

【第10篇 高三数学必修三知识点总结

导语仰望天空时，什么都比你高，你会自卑；俯视大地时，什么都比你低，你会自负；只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找到你真正的位置。无须自卑，不要自负，坚持自信。高三频道为你整理了《高三数学必修三知识点总结》，欢迎阅读，祝愿天下所有的学子们都能取得的成绩！

1.高三数学必修三知识点总结

1、二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.

注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点.

2、求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求.其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.

3、常见的目标函数有：

(1)、截距型：形如z=a_+by.

求这类目标函数的最值常将函数z=a_+by转化为直线的斜截式：y=-a/b_+z/b，通过求直线的截距z/b的最值间接求出z的最值.

(2)、距离型：形如z=(_-a)2+(y-b)2.

(3)、斜率型：形如z=(y-b)/(_-a).

注意：转化的等价性及几何意义.

4、与线性规划有关的应用问题，通常涉及化问题.如用料最省、获利等，其解题步骤是：

①设未知数，确定线性约束条件及目标函数;

②转化为线性规划模型;

③解该线性规划问题，求出解;

④调整解.

2.高三数学必修三知识点总结

1.不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.

2.比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，

有a-b>0⇔;a-b=0⇔;a-b<0⇔.

另外，若b>0，则有>1⇔;=1⇔;<1⇔.

概括为：作差法，作商法，中间量法等.

3.不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔;

(2)传递性：a>b，b>c⇔;

(3)可加性：a>b⇔a+cb+c，a>b，c>d⇒a+cb+d;

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;a>b>0，c>d>0⇒;

(5)可乘方：a>b>0⇒(n∈n，n≥2);

(6)可开方：a>b>0⇒(n∈n，n≥2).

3.高三数学必修三知识点总结

两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......_，

(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

再把_分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

4.高三数学必修三知识点总结

1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件时，易a忽略是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。

9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法

5.高三数学必修三知识点总结

表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式

公式运用

可用于某些分母含有根号的分式：

1/(3-4倍根号2)化简：

1×(3+4倍根号2)/(3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2)/-23

[解方程]

_^2-y^2=1991

[思路分析]

利用平方差公式求解

[解题过程]

_^2-y^2=1991

(_+y)(_-y)=1991

因为1991可以分成1×1991，11×181

所以如果_+y=1991，_-y=1，解得_=996，y=995

如果_+y=181，_-y=11，_=96，y=85同时也可以是负数

所以解有_=996，y=995，或_=996，y=-995，或_=-996，y=995或_=-996，y=-995

或_=96，y=85，或_=96，y=-85或_=-96，y=85或_=-96，y=-85

有时应注意加减的过程。

【第11篇 高三数学必修五第二章知识点总结

高三数学必修五第二章知识点总结

1、等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的.前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

2、等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+（n—1）d。

3、等差中项

如果a=（a+b）/2，那么a叫做a与b的等差中项。

4、等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：an=am+（n—m）d（n，m∈n_）。

（2）若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，n，p，q∈n_）。

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈n_）是公差为md的等差数列。

（4）数列sm，s2m—sm，s3m—s2m，…也是等差数列。

（5）s2n—1=（2n—1）an、

（6）若n为偶数，则s偶—s奇=nd/2；若n为奇数，则s奇—s偶=a中（中间项）。

【第12篇 2023高一数学必修一知识点总结

高一数学集合有关概念

集合的含义

集合的中元素的三个特性：

元素的确定性如：世界上的山

元素的互异性如：由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}

元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

用拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}

集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：n

正整数集n_或n+整数集z有理数集q实数集r

列举法：{a,b,c……}

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{_(r|_-3>2},{_|_-3>2}

语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

venn图:

4、集合的分类：

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含任何元素的集合例：{_|_2=-5｝

高一数学集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)a是b的一部分，;(2)a与b是同一集合。

反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba

2.“相等”关系：a=b(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。a(a

②真子集:如果a(b,且a(b那就说集合a是集合b的真子集，记作ab(或ba)

③如果a(b,b(c,那么a(c

④如果a(b同时b(a那么a=b

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

高一数学考试命题趋势

1.函数知识：基本初等函数性质的考查，以导数知识为背景的函数问题;以向量知识为背景的函数问题;从具体函数的考查转向抽象函数考查;从重结果考查转向重过程考查;从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。

2.向量知识：向量具有数与形的双重性，高考中向量试题的命题趋向：考查平面向量的基本概念和运算律;考查平面向量的坐标运算;考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题。

3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解，是不等式命题的新取向。高考中不等式试题的命题趋向：基本的线性规划问题为必考内容，不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二交函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高;解不等式的试题，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起。考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

4.立体几何知识：2023年已经变得简单，2023年难度依然不大，基本的三视图的考查难点不大，以及球与几何体的组合体，涉及切，接的问题，线面垂直、平行位置关系的考查，已经线面角，面面角和几何体的体积计算等问题，都是重点考查内容。

5.解析几何知识：小题主要涉及圆锥曲线方程，和直线与圆的位置关系，以及圆锥曲线几何性质的考查，极坐标下的解析几何知识，解答题主要考查直线和圆的知识，直线与圆锥曲线的知识，涉及圆锥曲线方程，直线与圆锥曲线方程联立，定点，定值，范围的考查，考试的难度降低。

6.导数知识：导数的考查还是以理科19题，文科20题的形式给出，从常见函数入手，导数工具作用(切线和单调性)的考查，综合性强，能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起，考查转化与化归能力，但今年的难点整体偏低。

7.开放型创新题：答案不，或是逻辑推理题，以及解答题中的开放型试题的考查，都是重点,理科13，文科14题。

【第13篇 高一上册数学必修四知识点总结

导语高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一上册数学必修四知识点总结》，希望你不负时光，努力向前，加油！

1.高一上册数学必修四知识点总结

平面的一般式方程

a_+by+cz+d=0

其中n=(a,b,c)是平面的法向量，d是将平面平移到坐标原点所需距离(所以d=0时，平面过原点)

向量的模(长度)

给定一个向量v(_,y,z),则|v|=sqrt(___+y_y+z_z)

向量的点积(内积)

给定两个向量v1(_1,y1,z1)和v2(_2,y2,z2)则他们的内积是

v1v2=_1_2+y1y2+z1z2

2.高一上册数学必修四知识点总结

1、平面三角形证法

在△abc中，bc=a，ac=b，ab=c，作ad⊥bc于d，则ad=c_sinb，dc=a-bd=a-c_cosb

在rt△acd中，

b2=ad2+dc2=(c_sinb)2+(a-c_cosb)2

=c2sin2b+a2-2ac_cosb+c2cos2b

=c2(sin2b+cos2b)+a2-2ac_cosb

=c2+a2-2ac_cosb

2、平面向量证法

有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|cos(π-θ)

又∵cos(π-θ)=-cosθ(诱导公式)

∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ

此即c2=a2+b2-2abcosc

即cosc=(a2+b2-c2)/2_a_b

3.高一上册数学必修四知识点总结

1.函数的奇偶性。

(1)若f(_)是偶函数，那么f(_)=f(-_)。

(2)若f(_)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数)。

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(_)±f(-_)=0或(f(_)≠0)。

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性。

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

2.复合函数的有关问题。

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(_)]的定义域由不等式a≤g(_)≤b解出即可;若已知f[g(_)]的定义域为[a，b]，求f(_)的定义域，相当于_∈[a，b]时，求g(_)的值域(即f(_)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定。

3.函数图像(或方程曲线的对称性)。

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上。

(2)证明图像c1与c2的对称性，即证明c1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在c2上，反之亦然。

(3)曲线c1：f(_，y)=0，关于y=_+a(y=-_+a)的对称曲线c2的方程为f(y-a，_+a)=0(或f(-y+a，-_+a)=0)。

(4)曲线c1：f(_，y)=0关于点(a，b)的对称曲线c2方程为：f(2a-_，2b-y)=0。

(5)若函数y=f(_)对_∈r时，f(a+_)=f(a-_)恒成立，则y=f(_)图像关于直线_=a对称。

4.函数的周期性。

(1)y=f(_)对_∈r时，f(_+a)=f(_-a)或f(_-2a)=f(_)(a>0)恒成立，则y=f(_)是周期为2a的周期函数。

(2)若y=f(_)是偶函数，其图像又关于直线_=a对称，则f(_)是周期为2︱a︱的周期函数。

(3)若y=f(_)奇函数，其图像又关于直线_=a对称，则f(_)是周期为4︱a︱的周期函数。

(4)若y=f(_)关于点(a，0)，(b，0)对称，则f(_)是周期为2的周期函数。

5.判断对应是否为映射时，抓住两点。

(1)a中元素必须都有象且。

(2)b中元素不一定都有原象，并且a中不同元素在b中可以有相同的象。

6.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

7.对于反函数，应掌握以下一些结论。

(1)定义域上的单调函数必有反函数。

(2)奇函数的反函数也是奇函数。

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。

(4)周期函数不存在反函数。

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

(6)y=f(_)与y=f-1(_)互为反函数，设f(_)的定义域为a，值域为b，则有f[f--1(_)]=_(_∈b)，f--1[f(_)]=_(_∈a)。

8.处理二次函数的问题勿忘数形结合。

二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系。

9.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题。

10.恒成立问题的处理方法。

(1)分离参数法。

(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。

4.高一上册数学必修四知识点总结

定义：

形如y=_^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则_肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则_不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当_为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在_大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在_小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则_^(p/q)=q次根号(_的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则_=1/(_^k)，显然_≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于_>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于_<0和_>0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于_为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数，则_肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则_不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在_大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在_小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于_大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。

(6)显然幂函数_。

5.高一上册数学必修四知识点总结

公式一

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈z)

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈z)

【第14篇 高三数学必修四知识点总结

立体几何初步

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

【第15篇 高三数学必修二知识点总结：立体几何初步

导语高三的日子是苦的，有刚入高三时的迷茫和压抑，有成绩失意时的沉默不语，有晚上奋战到一两点的精神肉体双重压力，也有在清晨凛冽的寒风中上学的艰苦经历。在奋笔疾书中得到知识的快乐，也是一种在巨大压力下显得茫然无助的痛苦。高三频道为你整理《高三数学必修二知识点总结：立体几何初步》希望对你有帮助！

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与_轴平行的线段仍然与_平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

(4)球体的表面积和体积公式：v=;s=

5、空间点、直线、平面的位置关系

(1)平面

①平面的概念：a.描述性说明;b.平面是无限伸展的;

②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面bc。

③点与平面的关系：点a在平面内，记作;点不在平面内，记作

点与直线的关系：点a的直线l上，记作：a∈l;点a在直线l外，记作al;

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα;直线l不在平面α内，记作lα。

(2)公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。(即直线在平面内，或者平面经过直线)

应用：检验桌面是否平;判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：

(3)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据

(4)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β=a。符号语言：

公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

(5)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

(6)空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线性质：既不平行，又不相交。

③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：(1)判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理

(2)在异面直线所成角定义中，空间一点o是任取的，而和点o的位置无关。

(3)求异面直线所成角步骤：

a、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

b、证明作出的角即为所求角

c、利用三角形来求角

(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

(8)空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示：aαa∩α=aa∥α

(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;α∥β相交——有一条公共直线。α∩β=b

6、空间中的平行问题

(1)直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行线线平行

(2)平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(线面平行→面面平行)，

(2)如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。(线线平行→面面平行)，

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行)

(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)

7、空间中的垂直问题

(1)线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

8、空间角问题

(1)直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点o，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

(2)直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

解题时，注意挖掘题设中两个信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

9、空间直角坐标系

(1)定义：如图，是单位正方体.以a为原点，分别以od,o,ob的方向为正方向，

建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系o_yz.

1)o叫做坐标原点2)_轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为_轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

(3)任意点坐标表示：空间一点m的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点m在此空间直角坐标系中的坐标，记作(_叫做点m的横坐标，y叫做点m的纵坐标，z叫做点m的竖坐标)

(4)空间两点距离坐标公式

【第16篇 高二数学必修三公式总结：三角函数的积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ=1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα ·sinβ=1/2 [sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα ·cosβ=1/2 [cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα ·sinβ=-1/2 [cos(α+β)-cos(α-β)]