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第1篇高一数学必修一知识点总结 第2篇2023高一数学必修一知识点总结 第3篇2023高一数学必修一知识点总结 第4篇高一数学必修一平面向量知识点总结 第5篇高一数学必修一知识点总结:幂函数的性质考点 第6篇高一数学必修一:各章知识点总结 第7篇高一数学必修一公式总结 第8篇高一数学必修一重点知识点总结
【第1篇 高一数学必修一知识点总结
高一数学必修一知识点总结范例
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性,
(2) 元素的互异性,
(3) 元素的无序性,
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:n
正整数集 n_或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r
1) 列举法:{a,b,c……}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{_?r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a b或b a
2.“相等”关系:a=b (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。a?a
②真子集:如果a?b,且a? b那就说集合a是集合b的真子集,记作a b(或b a)
③如果 a?b, b?c ,那么 a?c
④ 如果a?b 同时 b?a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.记作a b(读作‘a交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.
由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a b(读作‘a并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).
设s是一个集合,a是s的一个子集,由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)
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二、函数的有关概念
1.函数的概念:设a、b是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数_,在集合b中都有唯一确定的数f(_)和它对应,那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自变量,_的取值范围a叫做函数的定义域;与_的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(_)| _∈a }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数_的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的._的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(_) , (_∈a)中的_为横坐标,函数值y为纵坐标的点p(_,y)的集合c,叫做函数 y=f(_),(_ ∈a)的图象.c上每一点的坐标(_,y)均满足函数关系y=f(_),反过来,以满足y=f(_)的每一组有序实数对_、y为坐标的点(_,y),均在c上 .
(2) 画法
a、 描点法:
b、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素_,在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:a b为从集合a到集合b的一个映射。记作f:a→b
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),则 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(_)的定义域为i,如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量_1,_2,当_1
如果对于区间d上的任意两个自变量的值_1,_2,当_1f(_2),那么就说f(_)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(_)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(_)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(_)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(a) 定义法:
○1 任取_1,_2∈d,且_1
○2 作差f(_1)-f(_2);
○3 变形(通常是因式分解和配方);
○4 定号(即判断差f(_1)-f(_2)的正负);
○5 下结论(指出函数f(_)在给定的区间d上的单调性).
(b)图象法(从图象上看升降)
(c)复合函数的单调性
复合函数f[g(_)]的单调性与构成它的函数u=g(_),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-_)与f(_)的关系;
○3作出相应结论:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,则f(_)是偶函数;若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,则f(_)是奇函数.
(2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2 利用图象求函数的最大(小)值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(_)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(_)在_=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(_)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(_)在_=b处有最小值f(b);
【第2篇 2023高一数学必修一知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上的山
(2)元素的互异性如:由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}
(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:_ kb 1.c om
非负整数集(即自然数集) 记作:n
正整数集 :n_或 n+
整数集: z
有理数集: q
实数集: r
1)列举法:{a,b,c……}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{_r|_-3>2} ,{_|_-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a b或b a
2.“相等”关系:a=b (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。aa
② 真子集:如果ab,且a b那就说集合a是集合b的真子集,记作a b(或b a)
③ 如果 ab, bc ,那么 ac
④ 如果ab 同时 ba 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数:
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集
三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.记作a b(读作‘a交b’),即a b={_|_ a,且_ b}.
由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a b(读作‘a并b’),即a b ={_|_ a,或_ b}).
设s是一个集合,a是s的一个子集,由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)
记作 ,即
csa=
韦
恩
图
示
性
质 a a=a
a φ=φ
a b=b a
a b a
a b b
a a=a
a φ=a
a b=b a
a b a
a b b
(cua) (cub)
= cu (a b)
(cua) (cub)
= cu(a b)
a (cua)=u
a (cua)= φ.
二、函数的有关概念
1.函数的概念
设a、b是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数_,在集合b中都有确定的数f(_)和它对应,那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作: y=f(_),_∈a.其中,_叫做自变量,_的取值范围a叫做函数的定义域;与_的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(_)| _∈a }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数_的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的_的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数 y=f(_) , (_∈a)中的_为横坐标,函数值y为纵坐标的点p(_,y)的集合c,叫做函数 y=f(_),(_ ∈a)的图象.c上每一点的坐标(_,y)均满足函数关系y=f(_),反过来,以满足y=f(_)的每一组有序实数对_、y为坐标的点(_,y),均在c上 .
(2) 画法
1.描点法: 2.图象变换法:常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素_,在集合b中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:a b为从集合a到集合b的一个映射。记作“f(对应关系):a(原象) b(象)”
对于映射f:a→b来说,则应满足:
(1)集合a中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象是的;
(2)集合a中不同的元素,在集合b中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),则 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(_)的定义域为i,如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量_1,_2,当_1
如果对于区间d上的任意两个自变量的值_1,_2,当_1
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(_)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(_)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(a) 定义法:
(1)任取_1,_2∈d,且_1
(2)作差f(_1)-f(_2);或者做商
(3)变形(通常是因式分解和配方);
(4)定号(即判断差f(_1)-f(_2)的正负);
(5)下结论(指出函数f(_)在给定的区间d上的单调性).
(b)图象法(从图象上看升降)
(c)复合函数的单调性
复合函数f[g(_)]的单调性与构成它的函数u=g(_),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数:一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函数.
(2)奇函数:一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
9.利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-_)与f(_)的关系;
○3作出相应结论:若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0,则f(_)是偶函数;若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0,则f(_)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
10、函数的解析表达式
(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法
11.函数(小)值
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值
○2 利用图象求函数的(小)值
○3 利用函数单调性的判断函数的(小)值:
如果函数y=f(_)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(_)在_=b处有值f(b);
如果函数y=f(_)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(_)在_=b处有最小值f(b);
第三章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 >1,且 ∈ _.
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。
当 是奇数时, ,当 是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1) · ;
(2) ;
(3) .
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数,其中_是自变量,函数的定义域为r.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1 0<1
定义域 r 定义域 r
值域y>0 值域y>0
在r上单调递增 在r上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;
(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ,总有 ;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:
一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)
说明:○1 注意底数的限制 ,且 ;
○2 ;
○3 注意对数的书写格式.
两个重要对数:
○1 常用对数:以10为底的对数 ;
○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .
指数式与对数式的互化
幂值 真数
= n = b
底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果 ,且 , , ,那么:
○1 · + ;
○2 - ;
○3 .
注意:换底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).
利用换底公式推导下面的结论:(1) ;(2) .
(3)、重要的公式 ①、负数与零没有对数; ②、 , ③、对数恒等式
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○2 对数函数对底数的限制: ,且 .
2、对数函数的性质:
a>1 0<1
定义域_>0 定义域_>0
值域为r 值域为r
在r上递增 在r上递减
函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;
(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.
第四章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。
即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.
3、函数零点的求法:
○1 (代数法)求方程 的实数根;
○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数 .
(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程 有两相等实根,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型
【第3篇 2023高一数学必修一知识点总结
高一数学集合有关概念
集合的含义
集合的中元素的三个特性:
元素的确定性如:世界上的山
元素的互异性如:由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}
元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:n
正整数集n_或n+整数集z有理数集q实数集r
列举法:{a,b,c……}
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{_(r|_-3>2},{_|_-3>2}
语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
venn图:
4、集合的分类:
有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}
高一数学集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
2.“相等”关系:a=b(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。a(a
②真子集:如果a(b,且a(b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)
③如果a(b,b(c,那么a(c
④如果a(b同时b(a那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
高一数学考试命题趋势
1.函数知识:基本初等函数性质的考查,以导数知识为背景的函数问题;以向量知识为背景的函数问题;从具体函数的考查转向抽象函数考查;从重结果考查转向重过程考查;从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。
2.向量知识:向量具有数与形的双重性,高考中向量试题的命题趋向:考查平面向量的基本概念和运算律;考查平面向量的坐标运算;考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题。
3.不等式知识:突出工具性,淡化独立性,突出解,是不等式命题的新取向。高考中不等式试题的命题趋向:基本的线性规划问题为必考内容,不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二交函数等结合起来,考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题,多以函数、数列、解析几何等知识为背景,在知识网络的交汇处命题,综合性强,能力要求高;解不等式的试题,往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起。考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考的热点,主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。
4.立体几何知识:2023年已经变得简单,2023年难度依然不大,基本的三视图的考查难点不大,以及球与几何体的组合体,涉及切,接的问题,线面垂直、平行位置关系的考查,已经线面角,面面角和几何体的体积计算等问题,都是重点考查内容。
5.解析几何知识:小题主要涉及圆锥曲线方程,和直线与圆的位置关系,以及圆锥曲线几何性质的考查,极坐标下的解析几何知识,解答题主要考查直线和圆的知识,直线与圆锥曲线的知识,涉及圆锥曲线方程,直线与圆锥曲线方程联立,定点,定值,范围的考查,考试的难度降低。
6.导数知识:导数的考查还是以理科19题,文科20题的形式给出,从常见函数入手,导数工具作用(切线和单调性)的考查,综合性强,能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起,考查转化与化归能力,但今年的难点整体偏低。
7.开放型创新题:答案不,或是逻辑推理题,以及解答题中的开放型试题的考查,都是重点,理科13,文科14题。
【第4篇 高一数学必修一平面向量知识点总结
高一数学必修一平面向量知识点总结
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
ab+bc=ac,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点o出发的两个向量oa、ob,以oa、ob为邻边作平行四边形oacb,则以o为起点的对角线oc就是向量oa、ob的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ >;0时,λa的方向和a的方向相同,当λ< 0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa = 0。
设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,θ是a与b的夹角,|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的'数量积为0。
a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
【第5篇 高一数学必修一知识点总结:幂函数的性质考点
高一数学必修1知识点总结:幂函数的性质考点
定义:
形如y=_^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则_肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则_不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当_为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:
在_大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在_小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域
性质:
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则_^(p/q)=q次根号(_的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是r,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则_=1/(_^k),显然_≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到_所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于_>;0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于_<;0和_>;0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于_为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
【第6篇 高一数学必修一:各章知识点总结
导语心无旁骛,全力以赴,争分夺秒,顽强拼搏脚踏实地,不骄不躁,长风破浪,直济沧海,我们,注定成功!高一频道为大家推荐《高一数学必修一:各章知识点总结》希望对你的学习有帮助!
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:n
正整数集n_或n+整数集z有理数集q实数集r
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就说a属于集合a记作a∈a,相反,a不属于集合a记作a?a
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式_-3>2的解集是{_?r|_-3>2}或{_|_-3>2}
4、集合的分类:
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同”
结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b
①任何一个集合是它本身的子集。aía
②真子集:如果aíb,且a1b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)
③如果aíb,bíc,那么aíc
④如果aíb同时bía那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.
记作a∩b(读作”a交b”),即a∩b={_|_∈a,且_∈b}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集。记作:a∪b(读作”a并b”),即a∪b={_|_∈a,或_∈b}.
3、交集与并集的性质:a∩a=a,a∩φ=φ,a∩b=b∩a,a∪a=a,
a∪φ=a,a∪b=b∪a.
4、全集与补集
(1)补集:设s是一个集合,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)
记作:csa即csa={_|_?s且_?a}
s
csa
a
(2)全集:如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用u来表示。
(3)性质:⑴cu(cua)=a⑵(cua)∩a=φ⑶(cua)∪a=u
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设a、b是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数_,在集合b中都有确定的数f(_)和它对应,那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作:y=f(_),_∈a.其中,_叫做自变量,_的取值范围a叫做函数的定义域;与_的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(_)|_∈a}叫做函数的值域.
注意:2如果只给出解析式y=f(_),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数_的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的_的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(_),(_∈a)中的_为横坐标,函数值y为纵坐标的点p(_,y)的集合c,叫做函数y=f(_),(_∈a)的图象.
c上每一点的坐标(_,y)均满足函数关系y=f(_),反过来,以满足y=f(_)的每一组有序实数对_、y为坐标的点(_,y),均在c上.即记为c={p(_,y)|y=f(_),_∈a}
图象c一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
a、描点法:根据函数解析式和定义域,求出_,y的一些对应值并列表,以(_,y)为坐标在坐标系内描出相应的点p(_,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
b、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素_,在集合b中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:ab为从集合a到集合b的一个映射。记作“f:ab”
给定一个集合a到b的映射,如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合a、b及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合a到集合b的对应,它与从b到a的对应关系一般是不同的;③对于映射f:a→b来说,则应满足:(ⅰ)集合a中的每一个元素,在集合b中都有象,并且象是的;(ⅱ)集合a中不同的元素,在集合b中对应的象可以是同一个;(ⅲ)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法:必须注明函数的定义域;3图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数(参见课本p24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数
如果y=f(u),(u∈m),u=g(_),(_∈a),则y=f[g(_)]=f(_),(_∈a)称为f、g的复合函数。
例如:y=2sin_y=2cos(_2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(_)的定义域为i,如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量_1,_2,当_1
如果对于区间d上的任意两个自变量的值_1,_2,当_1
注意:1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2必须是对于区间d内的任意两个自变量_1,_2;当_1
(2)图象的特点
如果函数y=f(_)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(_)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(a)定义法:
1任取_1,_2∈d,且_1
(b)图象法(从图象上看升降)_
(c)复合函数的单调性
复合函数f[g(_)]的单调性与构成它的函数u=g(_),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数
单调性
u=g(_)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(_)]
增
减
减
增
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=f(_),那么f(_)就叫做偶函数.
(2)奇函数
一般地,对于函数f(_)的定义域内的任意一个_,都有f(-_)=—f(_),那么f(_)就叫做奇函数.
注意:1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个_,则-_也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f(-_)与f(_)的关系;3作出相应结论:若f(-_)=f(_)或f(-_)-f(_)=0,则f(_)是偶函数;若f(-_)=-f(_)或f(-_)+f(_)=0,则f(_)是奇函数.
注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-_)=±f(_)比较困难,可考虑根据是否有f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(_)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(_)
10.函数(小)值(定义见课本p36页)
1利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值2利用图象求函数的(小)值3利用函数单调性的判断函数的(小)值:如果函数y=f(_)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(_)在_=b处有值f(b);如果函数y=f(_)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(_)在_=b处有最小值f(b);
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.
当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicale_ponent),叫做被开方数(radicand).
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
注意:当是奇数时,,当是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(1)?;
(2);
(3).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(e_ponential),其中_是自变量,函数的定义域为r.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
0
图象特征
函数性质
向_、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为r
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在_轴上方
函数的值域为r+
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;
函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
(4)当时,若,则;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—对数式)
说明:1注意底数的限制,且;
2;
3注意对数的书写格式.
两个重要对数:
1常用对数:以10为底的对数;
2自然对数:以无理数为底的对数的对数.
对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←→幂底数
对数←→指数
真数←→幂
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
1?+;
2-;
3.
注意:换底公式
(,且;,且;).
利用换底公式推导下面的结论(1);(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2对数函数对底数的限制:,且.
2、对数函数的性质:
a>1
0
图象特征
函数性质
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为r
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
求函数的零点:
1(代数法)求方程的实数根;
2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数.
1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
【第7篇 高一数学必修一公式总结
三角函数公式
两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga) ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)
倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))
积化和差 2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)
2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)
-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
和差化积 sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb
ctga+ctgb=sin(a+b)/sinasinb
-ctga+ctgb=sin(a+b)/sinasin
集合与函数概念
一,集合有关概念
1,集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.
2,集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.3,集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法.
注意啊:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:n
正整数集 n_或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r
关于'属于'的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就说a属于集合a 记作 a∈a ,相反,a不属于集合a 记作 a(a
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式_-3]2的解集是{_(r| _-3]2}或{_| _-3]2}
4,集合的分类:
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例:{_|_2=-5}
二,集合间的基本关系
1.'包含'关系—子集
注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合.
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
2.'相等'关系(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 a={_|_2-1=0} b={-1,1} '元素相同'
结论:对于两个集合a与b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素,我们就说集合a等于集合b,即:a=b
① 任何一个集合是它本身的子集.a(a
②真子集:如果a(b,且a( b那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)
③如果 a(b, b(c ,那么 a(c
④ 如果a(b 同时 b(a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
三,集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.
记作a∩b(读作'a交b'),即a∩b={_|_∈a,且_∈b}.
2,并集的定义:一般地,由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合,叫做a,b的并集.记作:a∪b(读作'a并b'),即a∪b={_|_∈a,或_∈b}.
3,交集与并集的性质:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4,全集与补集
(1)补集:设s是一个集合,a是s的一个子集(即),由s中所有不属于a的元素组成的集合,叫做s中子集a的补集(或余集)
记作: csa 即 csa ={_ ( _(s且 _(a}
(2)全集:如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用u来表示.
(3)性质:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
【第8篇 高一数学必修一重点知识点总结
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上的山
(2)元素的互异性如:由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}
(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:a={我校的篮球队员},b={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:n
正整数集n_或n+整数集z有理数集q实数集r
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{_r|_-3>2},{_|_-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{_|_2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)a是b的一部分,;(2)a与b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba
2.“相等”关系:a=b(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。aa
②真子集:如果ab,且ab那就说集合a是集合b的真子集,记作ab(或ba)
③如果ab,bc,那么ac
④如果ab同时ba那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^_
a^a_a^b=a^a+b(a>0,a、b属于q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于q)
(ab)^a=a^a_b^a(a>0,a、b属于q)
指数函数对称规律:
1、函数y=a^_与y=a^-_关于y轴对称
2、函数y=a^_与y=-a^_关于_轴对称
3、函数y=a^_与y=-a^-_关于坐标原点对称
&对数函数y=loga^_
如果,且,,,那么:
○1·+;
○2-;
○3.
注意:换底公式
(,且;,且;).
幂函数y=_^a(a属于r)
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法:
○1(代数法)求方程的实数根;
○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为的向量.
单位向量:长度等于个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
ab+bc=ac,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点o出发的两个向量oa、ob,以oa、ob为邻边作平行四边形oacb,则以o为起点的对角线oc就是向量oa、ob的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0。
设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a?b的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法