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【第1篇 初中数学二次函数知识点总结
I.定义与定义表达式
一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_^2+b_+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为_的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(_-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(_-_?)(_-_ ?) [仅限于与_轴有交点A(_? ，0)和 B(_?，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 _ = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在_轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与_轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与_轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。X的取值是虚数(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c，
当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程)，即a_^2+b_+c=0
此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2 +k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴：
当h>0时，y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^2 +k的图象;
当h>0,k<0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;
因此，研究抛物线 y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线_=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，当_ ≤ -b/2a时，y随_的增大而减小;当_ ≥ -b/2a时，y随_的增大而增大.若a<0，当_ ≤ -b/2a时，y随_的增大而增大;当_ ≥ -b/2a时，y随_的增大而减小.
4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与_轴交于两点A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|_?-_?|
当△=0.图象与_轴只有一个交点;
当△<0.图象与_轴没有交点.当a>0时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<0.
5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，则当_= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
【第2篇 高一数学二次函数知识点总结
高一数学二次函数知识点总结
i.定义与定义表达式
一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：
y=a_^2+b_+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>;0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，iai还可以决定开口大小，iai越大开口就越小，iai越小开口就越大.)
则称y为_的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
ii.二次函数的三种表达式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点p(h，k)]
交点式：y=a(_-_?)(_-_?)[仅限于与_轴有交点a(_?，0)和b(_?，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?，_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
iv.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
_=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)
2.抛物线有一个顶点p，坐标为
p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，p在y轴上;当δ=b^2-4ac=0时，p在_轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>;0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
a越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>;0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与_轴交点个数
δ=b^2-4ac>;0时，抛物线与_轴有2个交点。
δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。
δ=b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
v.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c，
当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程)，
即a_^2+b_+c=0
此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。
函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=a_^2
(0，0)
_=0
y=a(_-h)^2
(h，0)
_=h
y=a(_-h)^2+k
(h，k)
_=h
y=a_^2+b_+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
_=-b/2a
当h>;0时，y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动h个单位得到.
当h>;0，k>;0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的图象;
当h>;0，k<0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向下移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;
当h<0，k>;0时，将抛物线向左平行移动h个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;
当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动h个单位，再向下移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;
因此，研究抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象：当a>;0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线_=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而减小;当_≥-b/2a时，y随_的增大而增大.若a<0，当_≤-b/2a时，y随_的.增大而增大;当_≥-b/2a时，y随_的增大而减小.
4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
(2)当△=b^2-4ac>;0，图象与_轴交于两点a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1，_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离ab=_?-_?
当△=0.图象与_轴只有一个交点;
当△<0.图象与_轴没有交点.当a>;0时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>;0;当a<0时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<0.
5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，则当_=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
【第3篇 中考数学二次函数知识点总结
导语有一个现象是普遍存在的，就是“学的越多感觉不会的越多，背的越多忘的越快”，这个问题困扰着很多考研党。很多时候死记硬背并不是的方法，需要找到正确的思路，灵活记忆。为同学们提供中考数学二次函数知识点总结，希望能对大家有所帮助。
i.定义与定义表达式
一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_^2+b_+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>;0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大.）则称y为_的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
ii.二次函数的三种表达式
一般式：y=a_^2+b_+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点p（h，k）]
交点式：y=a(_-_₁)(_-_₂)[仅限于与_轴有交点a（_₁，0）和b（_₂，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _₁,_₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
iv.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点p。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线_=0）
2.抛物线有一个顶点p，坐标为：p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，p在y轴上；当δ=b^2-4ac=0时，p在_轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与_轴交点个数
δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与_轴有2个交点。
δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。
δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与_轴没有交点。
_的取值是虚数（_=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
v.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=a_^2+b_+c，
当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程（以下称方程），即a_^2+b_+c=0
此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
当h>;0时，y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>;0,k>;0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的图象；
当h>;0,k<0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象；
当h<0,k>;0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象：当a>;0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线_=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而减小；当_≥-b/2a时，y随_的增大而增大．若a<0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而增大；当_≥-b/2a时，y随_的增大而减小．
4．抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>;0，图象与_轴交于两点a(_₁，0)和b(_₂，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离ab=|_₂-_₁|
当△=0．图象与_轴只有一个交点；
当△<0．图象与_轴没有交点．当a>;0时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>;0；当a<0时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，则当_=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_₁)(_-_₂)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
