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【第1篇 2023高考数学知识点总结:指数函数、函数奇偶性
指数函数
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于y轴与_轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于y轴的正半轴与_轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于_轴,永不相交。
(7)函数总是通过(0,1)这点。
(8)显然指数函数无界。
奇偶性
注图:(1)为奇函数(2)为偶函数
定义
一般地,对于函数f(_)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个_,都有f(-_)=-f(_),那么函数f(_)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个_,都有f(-_)=f(_),那么函数f(_)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个_,f(-_)=-f(_)与f(-_)=f(_)同时成立,那么函数f(_)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个_,f(-_)=-f(_)与f(-_)=f(_)都不能成立,那么函数f(_)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(_)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
【第2篇 2023高考数学知识点总结:对数函数性质与定义
对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=_的对称图形,因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1,0)这点。
(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
【第3篇 2023高考数学知识点总结:一次函数
一、定义与定义式:
自变量_和因变量y有如下关系:
y=k_+b
则此时称y是_的一次函数。
特别地,当b=0时,y是_的正比例函数。
即:y=k_(k为常数,k≠0)
二、一次函数的性质:
1.y的变化值与对应的_的变化值成正比例,比值为k
即:y=k_+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当_=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质:
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与_轴和y轴的交点)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点p(_,y),都满足等式:y=k_+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与_轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
【第4篇 2023高考数学知识点总结:集合知识点汇总
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对_∈a都有_∈b,则a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,则? a ;
②若, ,则 ;
③若且 ,则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合m:{_|_= ,m∈z};对于集合n:{_|_= ,n∈z}
对于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合, ,则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b
例2定义集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a_b的子集个数为
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:确定集合a_b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有两个元素,故a_b的子集共有22个。选d。
变式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为
a)5个 b)6个 c)7个 d)8个
变式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1,
∴ ∴
变式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当时,a_-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
例5已知集合 ,函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令当 时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。